#10 Twierdzenie Gödla, czyli matematyczny paradoks Epimenidesa

Na podstawie wykładu D. Hofstadtera "Limits of Logic: The Gödel Legacy"

Wszystko zaczęło się od pracy Principia Mathematica B. Russela i A. Whiteheada. Jej celem było stworzenie kompletnego systemu formalnego, z którego można by wyprowadzić wszystkie możliwe matematyczne aksjomaty. System PM był tak skonstruowany, że nie dopuszczał możliwości samoreferencji, gdyż, jak przewidywali jego autorzy, mogłoby to doprowadzić do jego upadku.

Kurt Gödel obalił przekonanie autorów PM o braku możliwości pojawienia się samoreferencji, "włamując" się do systemu za pomocą konia trojańskiego "liczby Gödla". Austriacki matematyk zauważył, że symbole PM można mapować na duże liczby całkowite, korzystając z Podstawowego Twierdzenia Arytmetyki - każda liczba może zostać przedstawiona jako unikalny iloczyn kolejnych liczb pierwszych. Gödel miał prawo tak zrobić dzięki zjawisku izomorfizmu - kiedy numery zachowują się izomorficznie do zdań PM, wtedy można mówić o wszystkich strukturach w PM numerycznie.

Podstawowe twierdzenie arytmetyki - liczba 1700 jako iloczyn kolejnych liczb pierwszych

Mapowanie Gödla

W ten sposób Gödel przeniósł dyskusję o dowodliwości w domenę dyskursu, którym PM zajmowała się dotychczas wykorzystując symbole logiki. Innymi słowy, zrelacjonował opowieść Whiteheada i Russela bezpośrednio za pomocą języka, którym ta opowieść się zajmowała.

Okazało się wtedy, że nie tylko samoreferencja jest możliwa, ale że spełniają się najczarniejsze przewidywania autorów PM. Gödel nie tylko dał radę wyrazić w ten sposób regularne zdania PM, ale był również w stanie zapisać to konkretne zdanie (tzw. zdanie Gödla G):

THE INTEGER 'g' IS NOT THE NUMBER OF THIS THEOREM

Gdzie liczba 'g' była dokładnie numerem odpowiadającym powyższemu zdaniu po przemapowaniu go z typograficznego systemu PM na arytmetyczny system liczb całkowitych.

Jest to matematyczny odpowiednik paradoksu Epimenidesa. Sytuacja jest identyczna, jak ta, w której mielibyśmy do czynienia z następującym zdaniem:

"To zdanie jest fałszem."

A zatem, jeśli jest fałszem, to znaczy, że jest prawdą? Ale jeśli mówi prawdę, to znaczy, że jest fałszywe? Tak więc nie można powiedzieć o tym zdaniu, że jest fałszywe lub prawdziwe; musimy zadowolić się stwierdzeniem, że jego prawdziwość jest nierozstrzygalna bez odwołania do jakiegoś wyższego systemu. 

Oznacza to, że system formalny Principia Mathematica jest niekompletny, wbrew intencjom twórców, którzy chcieli opisać system wyczerpujący wszystkie zagadnienia matematyczne.

Jakie konsekwencje dla matematyki niesie ze sobą Twierdzenie Gödla? Moim zdaniem (jako nie-matematyka) zmienia to spojrzenie na tę gałąź wiedzy w sposób porównywalnie rewolucyjny, jak Teoria Względności Einsteina zmieniła sposób postrzegania fizyki. Są w matematyce rzeczy, których nigdy nie będziemy w stanie udowodnić, mimo wcześniejszego przekonania o istnieniu jakiejś granicy dowodów.